В этой книге предполагается, что вы знакомы с алгеброй и геометрией, но не обязательно с векторной математикой. Позже материал введет вас в курс более сложных предметов, но сейчас познакомимся с основами векторной математики.
Вектор может иметь много значений, в зависимости от того, говорим ли мы в геометрической или числовой форме. В любом случае, векторы имеют размерность. Двумерный вектор ограничен одной плоскостью, в то время как трехмерный вектор может указывать на любое физическое пространство. Векторы могут иметь более высокую размерность, но обычно мы имеем дело только с размерами от 2 до 4.
Технически, вектор может иметь только одно измерение. Такой вектор называется скаляр.
С точки зрения геометрии вектор может представлять одно из двух понятий: положение или направление в пределах определенного пространства. Вектор позиции представляет собой конкретное место в пространстве. Например, на этом графике мы имеем векторную позицию A:
Рисунок 1. Векторы положения
Вектор также может представлять направление. Векторы направления не имеют начала, они просто указывают направление в пространстве. Это все векторы направления, но векторы B и D одинаковы, даже если они нарисованы в разных местах:
Рисунок 2. Векторы направления
Все это хорошо для геометрии, но векторы также можно описывать численно. Вектор в данном случае - это последовательность чисел, по одному для каждого измерения. Таким образом, двумерный вектор имеет два числа, а трехмерный вектор - три. И так далее. Скаляры, говоря числовым языком, - это всего лишь одно число.
Каждое из чисел в векторе называется компонентом. Каждый компонент обычно имеет имя. Для наших целей первой компонентой вектора является компонент X. Вторая составляющая - Y, третья - Z, а если есть четвертая, то она называется W.
При написании векторов в тексте они пишутся в скобках. Таким образом, трехмерный вектор может быть (0, 2, 4); компонент X равен 0, Y равен 2, а компонент Z равен 4. При написании их в составе уравнения они пишутся следующим образом:
В математических уравнениях векторные переменные либо выделяются жирным шрифтом, либо записываются стрелкой над ними.
При графическом рисовании векторов различают векторы положения и векторы направления. Однако в числовом выражении между ними нет разницы. Единственная разница заключается в том, как вы их используете, а не в том, как вы представляете их в виде чисел. Таким образом, вы можете считать позицию направлением, а затем применить к ним какую-то векторную операцию, а затем снова считать результат позицией.
Хотя векторы имеют отдельные числовые компоненты, к вектору в целом может быть применен ряд математических операций. Мы покажем некоторые из них, как с их геометрическими, так и с числовыми представлениями.
Сложение векторов. Вы можете взять два вектора и добавить их вместе. Графически это работает следующим образом:
Рисунок 3. Сложение векторов
Помните, что направления векторов могут смещаться без изменения их значений. Таким образом, если вы положите два вектора головой к хвосту, то векторная сумма - это просто направление от хвоста первого вектора к голове последнего.
Рисунок 4. Векторное сложение с головы к хвосту
Численно, сумма двух векторов - это просто сумма соответствующих компонентов:
Формула 1. Численное сложение векторов
Любая операция, при которой выполняется операция над каждым компонентом вектора, называется компонентной операцией. Векторное сложение является компонентным. Любая компонентная операция над двумя векторами требует, чтобы эти два вектора имели одинаковую размерность.
Векторное отрицание и вычитание. Вы можете отрицать вектор. Это меняет его направление:
Рисунок 5. Отрицание вектора
Численно это означает отрицание каждого компонента вектора.
Формула 2. Отрицание вектора
Как и при скалярной математике, векторное вычитание такое же, как и сложение с отрицанием второго вектора.
Рисунок 6. Вычитание векторов
Умножение векторов. Умножение векторов является одной из немногих векторных операций, не имеющих реального геометрического эквивалента. Умножать направление на другое или умножать позицию на другую, на самом деле, не имеет смысла. Однако это не означает, что числовой эквивалент не имеет смысла.
Умножение двух векторов в числовом выражении является простым компонентным умножением, как и сложение векторов.
Формула 3. Умножение векторов
Векторные/скалярные операции. Можно производить операции с векторами, используя скалярные значения. Напомним, что скаляры - это всего лишь единичные числа. Векторы можно умножать на скаляры. Это увеличивает или уменьшает длину вектора в зависимости от скалярного значения.
Рисунок 7. Масштабирование векторов
Численно это компонентное умножение, при котором каждый компонент вектора умножается на каждый компонент скаляра.
Формула 4. Умножение вектора на скаляр
Скаляры также могут быть сложены с векторами. Это, как и умножение векторов на векторы, не имеет геометрического представления. Это компонентное сложение скаляра с каждым компонентом вектора.
Формула 5. Сложение вектора и скаляра
Векторная алгебра. Полезно немного узнать об отношениях между такого рода векторными операциями.
Векторное сложение и умножение следуют многим из одних и тех же правил для скалярного сложения и умножения. Они являются коммутативными, ассоциативными и дистрибутивными.
Формула 6. Векторная алгебра
Векторные/скалярные операции имеют аналогичные свойства.
Длина. Векторы имеют длину. Длина вектора - это расстояние от начальной точки до конечной точки.
Численно, вычисление расстояния делается по этой формуле:
Формула 7. Длина вектора
Для вычисления длины вектора используется теорема Пифагора. Это работает для векторов произвольной размерности, а не только для двух или трех.
Единичные вектора и нормализация. Вектор, длина которого точно равна единице, называется единичный вектор. Он представляет собой чистое направление со стандартной, единичной длиной. Единичная векторная переменная в математических уравнениях записывается с символом ^ поверх имени переменной.
Вектор может быть преобразован в единичный вектор путем нормализации. Это делается путем деления вектора на его длину. Вернее, умножение на обратную длину.
Формула 8. Нормализация вектора
Это не вся векторная математика, которую мы будем использовать в этих уроках. Операции векторной математики будут введены и объяснены по мере необходимости при их первом использовании. И в отличие от введённых здесь математических операций, большинство из них не являются операциями с компонентами.
Обозначение диапазона. В этой книге часто используется стандартная нотация для указания того, что значение должно быть в определенном диапазоне.
Если значение ограничено между 0 и 1, а на самом деле оно может иметь значения 0 и 1, то говорят, что оно находится "в диапазоне" [0, 1]. Квадратные скобки означают, что диапазон включает в себя следующее за ним значение.
Если значение ограничено между 0 и 1, но на самом деле может не иметь значения 0, то считается, что оно находится в диапазоне (0, 1]. Круглая скобка означает, что диапазон не включает в себя это значение.
Если значение ограничено 0 или любым числом больше нуля, то будет использована нотация бесконечности. Этот диапазон представлен в виде [0, ∞]. Обратите внимание, что бесконечность никогда не может быть достигнута, поэтому она всегда является исключительной. Ограничение на любое число меньше нуля, но без учета нуля, будет находиться в диапазоне (-∞, 0).